110學測數學單選第5題詳解

1. 因為 $(x+1)f(x)$ 除以 $x^3+2$ 的餘式為 $x+2$，且 $f(x)$ 為三次式，所以商式為一次式，可設 $$(x+1)f(x)=(mx+n)(x^3+2)+x+2$$ 2. 代入 $x=-1$：因為 $x+1=0$，所以左式為 $0$，得 $$0=(-m+n)(-1+2)+(-1+2)=(-m+n)(1)+1$$ 因此 $-m+n=-1$，即 $n-m=-1$。 3. 代入 $x=0$： $$1\cdot f(0)=n\cdot2+0+2$$ 因為 $f(0)=4$，所以 $4=2n+2$，得 $n=1$。 代入 $n-m=-1$ 得 $m=2$。 4. 代入 $x=2$：因為 $m=2$、$n=1$，所以 $$3\cdot f(2)=(2\cdot2+1)(2^3+2)+2+2=5\cdot10+4=54$$ 因此 $f(2)=18$。 故選 $(4)$。