110 學測數學第 15 題

Question

坐標空間中有兩條直線 $L_1,L_2$ 與一平面 $E$，其中直線 $L_1: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-3}=\dfrac{z}{-5}$，而 $L_2$ 的參數式為 $x=1$，$y=1+2t$，$z=1+3t$（$t$ 為實數）。若 $L_1$ 落在 $E$ 上，且 $L_2$ 與 $E$ 不相交，則 $E$ 的方程式為 ____。

Accepted Answer

答案：$x-6y+4z=0$
$E$ 的法向量須垂直 $L_1$ 方向 $(2,-3,-5)$ 與 $L_2$ 方向 $(0,2,3)$，取外積得法向量 $(1,-6,4)$。又 $L_1$ 過原點，所以 $E:x-6y+4z=0$。