111學測數學A選填第15題詳解

設 $\triangle ABC$ 中 $\overline{BC}$ 邊上的高為 $H$。 因為 $\overline{DE}\parallel\overline{BC}$ 且剩下的 $\triangle ADE$ 面積為原面積的 $\frac{9}{16}$，而 $\triangle ADE\sim\triangle ABC$，面積比為相似比的平方，所以相似比為 $\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$。 因此 $\triangle ADE$ 對應 $\overline{DE}$ 的高為 $\frac{3}{4}H$，而原道路寬 $h$（梯形 $DBCE$ 的高）為 $h=H-\frac{3}{4}H=\frac{1}{4}H$。 協商後改為以 $\overline{BE}$、$\overline{FC}$ 為邊線的平行道路，路寬 $h$ 不變，且 $\angle EBC=30^\circ$。在 $\triangle BCE$ 中，以 $\overline{BC}=16$ 為底，點 $E$ 到 $\overline{BC}$ 的垂直距離即為路寬 $h$。由 $\angle EBC=30^\circ$ 可知 $E$ 到 $\overline{BC}$ 的距離為 $\overline{BC}\sin30^\circ=16\times\frac{1}{2}=8$，所以 $h=8$。 由 $h=\frac{1}{4}H$ 得 $H=4h=32$。原 $\triangle ABC$ 面積為 $\frac{1}{2}\times16\times32=256$。 道路區域為 $\triangle BCE$，其面積為 $\frac{1}{2}\times\overline{BC}\times h=\frac{1}{2}\times16\times8=64$。剩餘面積為 $256-64=192$。 故填 $192$。