18-20題為題組
坐標平面上有一環狀區域由圓 $x^2+y^2=3$ 的外部與圓 $x^2+y^2=4$ 的內部交集而成。欲用一支長度為 $1$ 的筆直掃描棒掃描此環狀區域之 $x$ 軸上方的某區域 $R$。掃描棒黑、白兩端分別在半圓 $C_1:x^2+y^2=3\ (y\ge 0)$、$C_2:x^2+y^2=4\ (y\ge 0)$ 上移動。開始時黑端在點 $A(\sqrt{3},0)$，白端在 $C_2$ 的點 $B$。黑、白兩端各沿 $C_1$、$C_2$ 逆時針移動，直到白端碰到 $C_2$ 的點 $B^{\prime}(-2,0)$ 便停止掃描。
令 $O$ 為原點，掃描棒停止時黑、白兩端所在位置分別為 $A^{\prime},B^{\prime}$。試在答題卷上作圖區中以斜線標示掃描棒掃過的區域 $R$；並於求解區內求 $\cos\angle OA^{\prime}B^{\prime}$ 及點 $A^{\prime}$ 的極坐標。
