題目
畫家把空間景物用單點透視法畫在平面的畫紙上時，有以下原則要遵守：
一、空間中的直線畫在畫紙上必須是一條直線。
二、空間直線上點的相對位置必須和畫紙所畫的點的相對位置一致。
三、空間直線上的任四個相異點的 $K$ 值，和畫紙所畫的四個點之 $K$ 值必須相同，其中 $K$ 值的定義如下：直線上任給四個有順序的相異點 $P_1,P_2,P_3,P_4$，其所對應的 $K$ 值定義為 $K=\dfrac{\overline{P_1P_4}\times\overline{P_2P_3}}{\overline{P_1P_3}\times\overline{P_2P_4}}$。今某畫家依照以上原則，將空間中一直線及該線上的四相異點 $Q_1,Q_2,Q_3,Q_4$ 描繪在畫紙上，其中 $\overline{Q_1Q_2}=\overline{Q_2Q_3}=\overline{Q_3Q_4}$。若將畫紙上所畫的直線視為一數線，並將線上的點用坐標來表示，則在下列選項的四個坐標中，試問哪一組最可能是該四點在畫紙上的坐標？
直線上四點 P1、P2、P3、P4 的示意圖
- $1,2,4,8$
- $3,4,6,9$
- $1,5,8,9$
- $1,2,4,9$
- $1,7,9,10$
詳解
1. 因為空間直線上 $\overline{Q_1Q_2}=\overline{Q_2Q_3}=\overline{Q_3Q_4}=d$，所以 $\overline{Q_1Q_3}=2d$、$\overline{Q_2Q_4}=2d$、$\overline{Q_1Q_4}=3d$。
2. 將這些距離代入 $K$ 值的定義：
$$K=\frac{\overline{Q_1Q_4}\times\overline{Q_2Q_3}}{\overline{Q_1Q_3}\times\overline{Q_2Q_4}}=\frac{3d\cdot d}{2d\cdot 2d}=\frac{3}{4}.$$
3. 因為 $K$ 值在透視繪畫中保持不變，所以畫紙上四個點的 $K$ 值也必須為 $\frac{3}{4}$。逐一檢視選項中四個點坐標的 $K$ 值：
選項 $(1)$：$1,2,4,8$ 的 $K=\frac{(8-1)\times(4-2)}{(4-1)\times(8-2)}=\frac{7\times 2}{3\times 6}=\frac{7}{9}\neq\frac{3}{4}$。
選項 $(2)$：$3,4,6,9$ 的 $K=\frac{(9-3)\times(6-4)}{(6-3)\times(9-4)}=\frac{6\times 2}{3\times 5}=\frac{4}{5}\neq\frac{3}{4}$。
選項 $(3)$：$1,5,8,9$ 的 $K=\frac{(9-1)\times(8-5)}{(8-1)\times(9-5)}=\frac{8\times 3}{7\times 4}=\frac{6}{7}\neq\frac{3}{4}$。
選項 $(4)$：$1,2,4,9$ 的 $K=\frac{(9-1)\times(4-2)}{(4-1)\times(9-2)}=\frac{8\times 2}{3\times 7}=\frac{16}{21}\neq\frac{3}{4}$。
選項 $(5)$：$1,7,9,10$ 的 $K=\frac{(10-1)\times(9-7)}{(9-1)\times(10-7)}=\frac{9\times 2}{8\times 3}=\frac{3}{4}$。
因此只有選項 $(5)$ 的 $K$ 值相符。
故選 $(5)$。
題目來源：民國111年學測數學B 第7題（來源PDF第3頁）
資料版本：2026-06-24（commit f54a9223）
校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。
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引用本站：大考雷達站，〈111學測數學B單選第7題詳解〉，資料版本 2026-06-24，https://twmath.com/questions/111_02B_q07
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