111 學測數學B 第 12 題

Question

設 $a,b,c$ 都是非零的實數，且二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ 的兩根都落在 $1$ 和 $3$ 之間。試選出兩根必定都落在 $4$ 和 $5$ 之間的方程式。

Accepted Answer

答案：$(3)(5)$
設原方程式 $at^2+bt+c=0$ 的兩根 $t=r$ 均滿足 $1<r<3$。選項 $(3)$ 中 $t=2x-7$，所以 $x=\dfrac{r+7}{2}$，必滿足 $4<x<5$。選項 $(5)$ 中 $t=3x-11$，所以 $x=\dfrac{r+11}{3}$，必滿足 $4<x<\dfrac{14}{3}<5$。其餘選項代換後的 $x$ 範圍不必都落在 $(4,5)$。故答案為 $(3)(5)$。