111分科測驗數學甲選填第12題詳解

在等腰梯形 $ACFD$ 中，$\overline{AD}=30$、$\overline{CF}=40$， 且 $\overline{AD}\parallel\overline{CF}$。 因為 $\overline{AD}$ 在平面 $BCFE$ 的投影長為 $30$， 且 $A$ 在平面 $BCFE$ 的投影為 $P$，$D$ 在平面 $BCFE$ 的投影在直線 $\overline{CF}$ 上， 所以 $\overline{AD}$ 的投影與 $\overline{CF}$ 平行且等長。 等腰梯形兩腰對稱，上底 $\overline{AD}=30$、下底 $\overline{CF}=40$， 上下底差 $10$ 平分到兩側，每側水平差距為 $5$。 點 $A$ 在直線 $\overline{BC}$ 的投影為 $M$，而 $P$ 為 $A$ 在平面 $BCFE$ 的投影。 在直角三角形 $AMP$ 中，$\overline{AP}=15$（垂直高度）， $\overline{PM}$ 等於等腰梯形側邊的水平差距，即 $\overline{PM}=5$。 因此 $$\tan\angle AMP = \frac{\overline{AP}}{\overline{PM}} = \frac{15}{5} = 3.$$ 故填 $3$。