112學測數學A多選第10題詳解

因為直線 $L:5y+(2k-4)x-10k=0$，所以 與 $x=0$（直線 $OC$）的交點 $D$：$y=2k$，即 $D=(0,2k)$。 與 $x=10$（直線 $AB$）的交點 $E$：$5y+(2k-4)\cdot10-10k=0$，得 $y=8-2k$，即 $E=(10,8-2k)$。 $L$ 的斜率為 $\frac{4-2k}{5}$。 $(1)$ 正確：$k=4$ 時 $E=(10,0)=A$，$L$ 通過 $A$。 $(2)$ 錯誤：若 $L$ 通過 $C=(0,6)$，則 $D=(0,6)$，得 $2k=6$，$k=3$。此時斜率為 $\frac{4-6}{5}=-\frac{2}{5}$，不是 $-\frac{5}{2}$。 $(3)$ 正確：$D$ 在 $\overline{OC}$ 上的條件為 $0\le2k\le6$，即 $0\le k\le3$。 $(4)$ 錯誤：$k=\frac{1}{2}$ 時，$E$ 的 $y$ 坐標為 $8-1=7$，不在 $\overline{AB}$（$0\le y\le6$）上。 $(5)$ 正確：若 $L$ 的斜率為 $\frac{3}{10}$，則 $\frac{4-2k}{5}=\frac{3}{10}$，解得 $k=\frac{5}{4}$。此時 $D=\left(0,\frac{5}{2}\right)$ 在 $\overline{OC}$ 內，$E=\left(10,\frac{11}{2}\right)$ 在 $\overline{AB}$ 內，所以線段 $\overline{DE}$ 在長方形內部。 故選 $(1)(3)(5)$。