112學測數學A多選第12題詳解

將 $f(x)$ 化為正弦疊合： $$f(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$ $(1)$ 正確：當 $x=\frac{\pi}{6}$ 時，$x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$，$\sin\frac{\pi}{2}=1$，$f(x)=2$ 為最大值，所以 $x=\frac{\pi}{6}$ 是對稱軸。 $(2)$ 錯誤：因為 $y=\sin x$ 的對稱軸出現在最大值和最小值處，所以不同對稱軸對應的 $f(x)$ 值分別為 $2$ 與 $-2$，不一定相等。 $(3)$ 錯誤：$f(x)=\sqrt{3}$ 等價於 $\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$。因為 $x\in[0,2\pi)$，對應的 $x+\frac{\pi}{3}$ 區間為$[\frac{\pi}{3},\frac{7\pi}{3})$，滿足條件的角度有兩個，所以共有兩解。 $(4)$ 錯誤：$f(x)=\frac{1}{2}$ 在 $[0,2\pi)$ 之所有解的和可大於 $2\pi$。 $(5)$ 正確：$y=4\sin^2\frac{x}{2}=4\cdot\frac{1-\cos x}{2}=2-2\cos x$。向下平移 $2$ 得 $-2\cos x$，再適當水平平移可得 $2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=f(x)$。 故選 $(1)(5)$。