112學測數學B多選第10題詳解

細菌數量呈指數成長：甲每 $3$ 小時、乙每 $2$ 小時各成長為原來的 $2$ 倍。從 $12$ 點起經過 $t$ 小時後，甲 $=X\cdot 2^{\frac{t}{3}}$，乙 $=Y\cdot 2^{\frac{t}{2}}$。 因為 $18$ 點時（$t=6$）兩者相同，所以 $X\cdot 2^2=Y\cdot 2^3$，得 $X=2Y$。 選項 $(1)$：$X=2Y$ 且數量為正，所以 $X>Y$。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：$13$ 點（$t=1$）時甲為 $X\cdot 2^{\frac{1}{3}}$。$2^{\frac{1}{3}}$ 的三次方為 $2$，而 $(\frac{4}{3})^3=\frac{64}{27}\neq 2$，兩者不相等。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$15$ 點（$t=3$）時乙為 $Y\cdot 2^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{2}Y$。$(2\sqrt{2})^2=8\neq 9=3^2$，不等於 $3Y$。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：$19$ 點（$t=7$）時 $\frac{\text{乙}}{\text{甲}}=\frac{Y\cdot 2^{\frac{7}{2}}}{X\cdot 2^{\frac{7}{3}}}=\frac{1}{2}\cdot 2^{\frac{7}{6}}=2^{\frac{1}{6}}$。$2^{\frac{1}{6}}$ 的六次方為 $2$，而 $1.5^6=\frac{729}{64}>2$，兩者不相等。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：$24$ 點（$t=12$）時甲為 $X\cdot 2^4=16X$，乙為 $Y\cdot 2^6=64Y$。代入 $X=2Y$ 得甲 $=32Y$，所以乙是甲的 $\frac{64Y}{32Y}=2$ 倍。$(5)$ 正確。 故選 $(1)(5)$。