112學測數學B多選第11題詳解

圓心 $A(a,b)$，圓與兩坐標軸都相切，所以 $|a|=|b|=r$。題目給 $a>c>0$，因此 $a>0$。 若 $b=-a$：$\overline{PA}^2=(a-c)^2+(-a-c)^2=(a-c)^2+(a+c)^2$。因為題目給 $\overline{PA}=a+c$，所以 $(a-c)^2=0$，得 $a=c$，與 $a>c$ 矛盾。因此 $b=a$。選項 $(1)$ 正確。 此時 $\overline{PA}^2=(a-c)^2+(a-c)^2=2(a-c)^2$。配合 $\overline{PA}=a+c$ 得 $$2(a-c)^2=(a+c)^2\text{（式1）}$$ 選項 $(2)$：因為 $P(c,c)$，代入 $x+y=0$ 得 $2c\neq0$（因 $c>0$）。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：因為 $\overline{PA}=a+c>a$（$c>0$），$P$ 到圓心距離大於半徑，所以 $P$ 在圓外。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：由（式1）開平方得 $\sqrt{2}(a-c)=a+c$，所以 $\frac{a+c}{a-c}=\sqrt{2}$。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：設 $t=\frac{a}{c}$，（式1）兩邊同除以 $c^2$：$2(t-1)^2=(t+1)^2$，展開得 $t^2-6t+1=0$，解得 $t=3\pm2\sqrt{2}$。因為 $t>1$，所以 $t=3+2\sqrt{2}$，並非 $2+3\sqrt{2}$。$(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(4)$。