112學測數學B多選第12題詳解

設地球儀的半徑為 $R$、北極點為 $N$。經線是通過兩極的大圓的一半，赤道是大圓，緯度 $\theta$ 的緯線圈半徑為 $R\cos\theta$。 選項 $(1)$：因為赤道長 $2\pi R$，東經 $0^\circ$ 和 $180^\circ$ 兩條經線各長 $\pi R$，所以總和也是 $2\pi R$。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：北緯 $45^\circ$ 圈半徑為 $R\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}R$，周長為 $\sqrt{2}\pi R$；赤道長的一半是 $\pi R$。因為 $\sqrt{2}\neq1$，所以兩者不相等。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$A$、$B$ 經度相差 $60^\circ$ 且都在赤道上，這段弧的圓心角為 $60^\circ$；$D$ 在北緯 $30^\circ$，到北極的圓心角為 $90^\circ-30^\circ=60^\circ$。因為兩者都是半徑 $R$ 的大圓上圓心角 $60^\circ$ 的弧，所以長度相同。$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：$D$、$E$ 經度相差 $180^\circ$，沿緯線的半個緯線圈長為 $\pi R\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\pi R$。經北極的路線是兩段圓心角各 $60^\circ$ 的大圓弧，總長 $\frac{2\pi R}{3}$。因為 $\frac{\sqrt{3}}{2}>\frac{2}{3}$，所以兩者不相等。$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：以球心為原點，$N=(0,0,1)$，$A=(1,0,0)$，$C=(0,1,0)$。$\overrightarrow{NA}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{NC}=(0,1,-1)$，因為內積為 $1\neq0$，所以不垂直。$(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(3)$。