112學測數學B非選第20題詳解

1. 先定出中間那根電線桿的位置。因為題目給「直線 $A_1B_3$ 與直線 $A_3B_1$ 的交點在直線 $A_2B_2$ 上」，而由第 $19$ 題已知 $A_1(0,0)$、$B_3(3,5)$、$A_3(3,-1)$、$B_1(0,3)$，先分別求出這兩條直線： 通過 $A_1(0,0)$ 與 $B_3(3,5)$ 的直線為 $y=\frac{5}{3}x$。 通過 $A_3(3,-1)$ 與 $B_1(0,3)$ 的直線斜率為 $\frac{-1-3}{3-0}=-\frac{4}{3}$，方程式為 $y=3-\frac{4}{3}x$。 2. 求交點：因為 $\frac{5}{3}x=3-\frac{4}{3}x$，兩邊乘以 $3$ 得 $5x=9-4x$，所以 $x=1$。 3. 因為電線桿都與 $y$ 軸平行，$A_2B_2$ 是鉛直線，而它通過上述交點，所以 $A_2B_2$ 就是直線 $x=1$。 4. 求 $A_2$ 與 $B_2$：因為 $A_2$ 在 $L:x+3y=0$ 上且 $x=1$，所以 $A_2=\left(1,-\frac{1}{3}\right)$；因為 $B_2$ 在 $M:2x-3y+9=0$ 上且 $x=1$，所以 $B_2=\left(1,\frac{11}{3}\right)$。 5. 因為 $Q$ 到 $A_2$ 與到 $B_2$ 的長度比為 $1:2$，代表 $Q$ 是 $\overline{A_2B_2}$ 上距 $A_2$ 三分之一處，所以 $$Q=A_2+\dfrac{1}{3}\left(B_2-A_2\right)=\left(1,\;-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times 4\right)=(1,1).$$ 故 $Q$ 點坐標為 $(1,1)$。