113 學測數學B 第 16 題

Question

在空間坐標系中，有一球心坐標在 $O(0,0,0)$ 且北極點在 $N(0,0,2)$ 的地球儀。已知球面上點 $A$ 坐標為 $\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12,\sqrt3\right)$，赤道上距離點 $A$ 最遠的點為點 $P$，則在通過點 $A$、點 $P$ 的大圓上，這兩點的劣弧長為 $\underline{\hspace{1.8cm}}$ $\pi$ / $\underline{\hspace{1.8cm}}$。（化為最簡分數）

Accepted Answer

答案：$16	ext{-}1=4,\ 16	ext{-}2=3$
球半徑為 $2$。赤道上與 $A$ 水平投影反向的點為 $P$，可得圓心角為 $\dfrac{2\pi}{3}$，故劣弧長為 $2\cdot\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}$。