113學測數學B選填第17題詳解

1. 因為三角形三內角和為 $180^\circ$，且三內角由小到大成等差數列，所以可設為 $60^\circ-d$、$60^\circ$、$60^\circ+d$，其中 $d\ge 0$。 2. 在圓周 $12$ 等分點上取 $3$ 個頂點，三邊所對的弧段數（以等分段為單位）設為 $x,y,z$（正整數），且 $x+y+z=12$。因為三角形內角與所對弧長成正比，所以內角成等差等同於 $x,y,z$ 由小到大成等差數列。 3. 求滿足 $x+y+z=12$ 且成等差的正整數 $(x,y,z)$（$x\le y\le z$）。設 $x=y-d$、$z=y+d$，則 $3y=12$，$y=4$。因此 $x=4-d$、$z=4+d$。 因為 $x\ge 1$ 且 $z\le 10$（$x+y+z=12$），所以 $d$ 可為 $0,1,2,3$： - $(4,4,4)$：等邊三角形 - $(3,4,5)$ - $(2,4,6)$ - $(1,4,7)$ 4. 計算每種弧段配置對應的三角形個數： 前三種 $(3,4,5)$、$(2,4,6)$、$(1,4,7)$ 三邊弧段互異，各有 $3!=6$ 種排列。每種排列取 $12$ 個等分點為起點可得 $12$ 個不同三角形，但每個三角形的 $3$ 個頂點各會對應一次計數，故每種弧段配置的三角形數為 $$\frac{6\times12}{3}=24.$$ 第四種 $(4,4,4)$ 弧段全等，起點 $12$ 個，每個三角形被 $3$ 點各計一次，故有 $$\frac{12}{3}=4\text{ 個}.$$ 5. 總三角形數為 $24\times3+4=76$。 故填 $76$。