114學測數學A單選第5題詳解

$\sin 2\theta>\sin\theta\iff 2\sin\theta\cos\theta>\sin\theta\iff\sin\theta(2\cos\theta-1)>0$。 $\cos 2\theta>\cos\theta\iff 2\cos^2\theta-1>\cos\theta\iff(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1)>0$。 因為 $\cos\theta-1\le 0$，所以必須 $2\cos\theta+1<0$ 且 $\cos\theta-1<0$，即 $\cos\theta<-\frac{1}{2}$。在 $0\le\theta\le 2\pi$ 中，$\frac{2\pi}{3}<\theta<\frac{4\pi}{3}$。 將 $\cos\theta<-\frac{1}{2}$ 代入 $\sin\theta(2\cos\theta-1)>0$：因為 $\cos\theta<-\frac{1}{2}$，所以 $2\cos\theta-1<-2<0$，因此必須 $\sin\theta<0$，即 $\pi<\theta<2\pi$。與 $\frac{2\pi}{3}<\theta<\frac{4\pi}{3}$ 取交集得 $\pi<\theta<\frac{4\pi}{3}$。 $a\pi<\theta<b\pi$ 對應 $a=1$，$b=\frac{4}{3}$，$b-a=\frac{1}{3}$。 故選 $(1)$。