114學測數學B單選第6題詳解

$f(x)=a(x-1)(x-3)+b(x-1)(x-4)+c(x-3)(x-4)=x^2$。 1. 展開左式： $$\begin{aligned} f(x)&=a(x^2-4x+3)+b(x^2-5x+4)+c(x^2-7x+12) \\[4pt] &=(a+b+c)x^2-(4a+5b+7c)x+(3a+4b+12c). \end{aligned}$$ 2. 因為 $f(x)=x^2$，比較係數得方程組： $$\begin{cases} a+b+c=1 \\ 4a+5b+7c=0 \\ 3a+4b+12c=0 \end{cases}$$ 3. 解方程組：由第一式 $c=1-a-b$ 代入後兩式。由第二式 $4a+5b+7(1-a-b)=0$，得 $-3a-2b+7=0$，即 $3a+2b=7$。 由第三式 $3a+4b+12(1-a-b)=0$，得 $-9a-8b+12=0$，即 $9a+8b=12$。 聯立解得 $a=\frac{16}{3}$，$b=-\frac{9}{2}$，$c=1-\frac{16}{3}+\frac{9}{2}=\frac{1}{6}$。 4. 比較大小：因為 $a=\frac{16}{3}>0$，$b=-\frac{9}{2}<0$，$c=\frac{1}{6}>0$，且 $\frac{16}{3}>\frac{1}{6}$，所以 $a>c>b$。 故選 $(2)$。