114學測數學B多選第8題詳解

$f(x)=x^3-x$。 選項 $(1)$：因為 $f(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-f(x)$，所以 $f$ 為奇函數，圖形以原點為對稱中心。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：因為在 $x=0$ 附近，$x^3$ 遠小於 $x$，$f(x)\approx -x$，所以圖形近似於直線 $y=-x$，不是 $y=x$。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$y=x^3-x$ 經平移 $(h,k)$ 後為 $y=(x-h)^3-(x-h)+k=x^3-3hx^2+(3h^2-1)x+(-h^3+h+k)$。因為要與 $y=x^3+x+3$ 重合，$x^2$ 係數須為 $0$，所以 $h=0$。此時 $y=x^3-x+k$，但 $x$ 係數 $-1\neq1$，無法匹配。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：因為 $y=x^3-x$ 對 $x$ 軸反射後為 $y=-x^3+x$，不等於 $y=x^3+x$，所以 $(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：因為對 $y$ 軸反射就是把 $x$ 換成 $-x$，所以 $y=f(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x$。$(5)$ 正確。 故選 $(1)(5)$。