111學測數學B多選第12題詳解

設原方程式 $at^2+bt+c=0$ 的兩根 $t=r$ 均滿足 $1<r<3$。逐一檢視各選項的代換： 選項 $(1)$：令 $t=x-2$，則 $x=r+2$。因為 $1<r<3$，所以 $3<x<5$，非必定在 $(4,5)$ 內，$(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：令 $t=x+2$，則 $x=r-2$。因為 $1<r<3$，所以 $-1<x<1$，不在 $(4,5)$ 內，$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：令 $t=2x-7$，則 $x=\frac{r+7}{2}$。因為 $1<r<3$，所以 $\frac{8}{2}<x<\frac{10}{2}$，即 $4<x<5$，$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：令 $t=\frac{x+7}{2}$，則 $x=2r-7$。因為 $1<r<3$，所以 $-5<x<-1$，不在 $(4,5)$ 內，$(4)$ 錯誤。 選項 $(5)$：令 $t=3x-11$，則 $x=\frac{r+11}{3}$。因為 $1<r<3$，所以 $\frac{12}{3}<x<\frac{14}{3}$，即 $4<x<\frac{14}{3}<5$，$(5)$ 正確。 故選 $(3)(5)$。