114學測數學B多選第11題詳解

五點 $A,B,C,D,E$ 的經緯度如題表。地球半徑設為 $R$。 選項 $(1)$：$A,B$ 同在北緯 $60^\circ$，到北極的球面角距皆為 $90^\circ-60^\circ=30^\circ$，最短路徑長皆為 $R\times\frac{\pi}{6}$。$(1)$ 正確。 選項 $(2)$：$A,B$ 同緯度，經度分別為 $0^\circ$ 與 $60^\circ\text{E}$。同緯度兩點的大圓路徑通常偏離緯線，不會經過北極（除非經度差 $180^\circ$）。$(2)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$A(0^\circ,60^\circ\text{N}),C(0^\circ,30^\circ\text{N}),E(0^\circ,0^\circ)$ 同在一條經線上，沿此子午線走即為最短路徑，所以 $A$ 到 $E$ 必經過 $C$。$(3)$ 正確。 選項 $(4)$：$C(0^\circ,30^\circ\text{N}),D(180^\circ,30^\circ\text{N})$ 同緯度且經度差 $180^\circ$。通過 $C,D$ 與球心的平面也通過北極，所以 $C$ 到 $D$ 的較短大圓弧經過北極。$(4)$ 正確。 選項 $(5)$：$B$ 到 $D$ 的路徑不經過北極，因為 $B(60^\circ\text{E},60^\circ\text{N})$ 和 $D(180^\circ,30^\circ\text{N})$ 既不同經線，經度差也不足 $180^\circ$。$(5)$ 錯誤。 故選 $(1)(3)(4)$。