114分科測驗數學甲多選第5題詳解

因為 $a_n=\cos\bigl(n\pi-\frac{\pi}{6}\bigr) =\cos n\pi\cos\frac{\pi}{6}+\sin n\pi\sin\frac{\pi}{6} =(-1)^n\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$， 所以數列為 $-\frac{\sqrt{3}}{2},\;\frac{\sqrt{3}}{2},\;-\frac{\sqrt{3}}{2},\;\frac{\sqrt{3}}{2},\ldots$ （正負交替）。 $(1)$ 因為 $a_1=-\frac{\sqrt{3}}{2}\neq\frac{\sqrt{3}}{2}$，錯誤。 $(2)$ 因為 $a_2=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$a_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，不相等，錯誤。 $(3)$ 因為 $a_4=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $a_{24}=(-1)^{24}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，兩者相等，正確。 $(4)$ 因為數列在 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 與 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 間交替，不收斂，錯誤。 $(5)$ 因為 $$(a_n)^n=\Bigl((-1)^n\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^n =(-1)^{n^2}\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^n =(-1)^n\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^n,$$ 所以 $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n)^n$ 為首項 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$、公比 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的無窮等比級數， 其和為 $$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\bigl(-\frac{\sqrt{3}}{2}\bigr)} =\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}} =\frac{-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} =\frac{-\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{4-3}=3-2\sqrt{3},$$ 正確。 故選 $(3)(5)$。