114分科測驗數學乙單選第4題詳解

1. 因為正立方體的邊長為 $1$，所以任一頂點到其餘七個頂點的距離只有三種：沿邊相鄰的三個距離為 $1$，同面對角的三個距離為 $\sqrt{2}$，體對角的一個距離為 $\sqrt{3}$。因此最遠的必定是體對角頂點。 2. 把正立方體的八個頂點依「三個坐標是奇是偶」分成兩類：每走一條邊恰好改變一個坐標，所以相鄰兩頂點必屬不同類。 3. 因為題目給的 $O$、$A$、$B$、$C$、$D$、$E$、$F$、$G$ 是沿著稜依序相鄰的一串，所以類別交替出現：與 $O$ 不同類的是 $A$、$C$、$E$、$G$，與 $O$ 同類的是 $B$、$D$、$F$。 4. 因為與 $O$ 同類的三個頂點恰是三個同面對角頂點，所以 $B$、$D$、$F$ 到 $O$ 的距離都是 $\sqrt{2}$，都不是最遠。 5. 因為與 $O$ 不同類的四個頂點是三個相鄰頂點與一個體對角頂點，而題目已給 $\overline{OA}=1$，代表 $A$ 是相鄰頂點；又給 $\overline{OG}>1$，代表 $G$ 不是相鄰頂點，所以 $G$ 只能是體對角頂點。 6. 因此 $\overline{OG}=\sqrt{3}$ 為最大，$C$ 與 $E$ 則是另外兩個相鄰頂點，距離皆為 $1$。 故選 $(5)$。