114分科測驗數學乙多選第9題詳解

因為箱中原有 $2$ 張「$1000$ 元」與 $3$ 張「$0$ 元」共 $5$ 張，所以第一次抽中 $1000$ 元的機率為 $\frac{2}{5}$、抽中 $0$ 元的機率為 $\frac{3}{5}$。 1. 選項 $(1)$ 說選擇（一）獲得 $0$ 元的機率為 $\frac{3}{5}$。因為選擇（一）就是保留原抽出的牌，所以機率即為第一次抽中 $0$ 元的機率 $\frac{3}{5}$，$(1)$ 正確。 2. 選項 $(2)$ 說選擇（一）的期望值為 $500$ 元。因為期望值為 $$1000\times\dfrac{2}{5}+0\times\dfrac{3}{5}=400,$$ 不是 $500$，所以 $(2)$ 錯誤。 3. 接著處理選擇（二）。因為原抽出的牌不放回、主持人另放入一張「$500$ 元」，所以第二次抽牌時箱中共 $5$ 張，其組成要看第一次抽到什麼，分兩種情形： 情形一：第一次抽到 $1000$ 元（機率 $\frac{2}{5}$），箱中剩 $1$ 張 $1000$ 元、$3$ 張 $0$ 元、$1$ 張 $500$ 元。 情形二：第一次抽到 $0$ 元（機率 $\frac{3}{5}$），箱中剩 $2$ 張 $1000$ 元、$2$ 張 $0$ 元、$1$ 張 $500$ 元。 4. 選項 $(3)$ 說選擇（二）獲得 $1000$ 元的機率為 $\frac{2}{5}$。因為兩種情形加總得 $$\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{2+6}{25}=\dfrac{8}{25},$$ 不是 $\frac{2}{5}$，所以 $(3)$ 錯誤。 5. 選項 $(4)$ 說選擇（二）獲得 $0$ 元的機率為 $\frac{12}{25}$。因為 $$\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6+6}{25}=\dfrac{12}{25},$$ 所以 $(4)$ 正確。 6. 選項 $(5)$ 說選擇（二）的期望值為 $420$ 元。因為兩種情形中「$500$ 元」都恰有 $1$ 張，抽中機率皆為 $\frac{1}{5}$，所以期望值為 $$1000\times\dfrac{8}{25}+500\times\dfrac{1}{5}+0\times\dfrac{12}{25}=320+100=420,$$ 所以 $(5)$ 正確。 故選 $(1)(4)(5)$。