114分科測驗數學乙選填第12題詳解

1. 因為三點的向量可互相表示，$\overset{\large\rightharpoonup}{CB}$ 的起點是 $C$、終點是 $B$，所以 $$\overset{\large\rightharpoonup}{CB}=\overset{\large\rightharpoonup}{AB}-\overset{\large\rightharpoonup}{AC}.$$ 2. 兩邊同時與 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC}$ 取內積，因為內積對減法有分配律，所以 $$\overset{\large\rightharpoonup}{CB}\cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC}=\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC}-\overset{\large\rightharpoonup}{AC}\cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC}.$$ 3. 因為 $\overset{\large\rightharpoonup}{AC}\cdot \overset{\large\rightharpoonup}{AC}=\left|\overset{\large\rightharpoonup}{AC}\right|^2=\overline{AC}^2$，代入題目給的兩個內積值，所以 $$3=16-\overline{AC}^2\implies \overline{AC}^2=13.$$ 4. 因為長度為正，所以開平方取正根。 故 $\overline{AC}=\sqrt{13}$。