114分科測驗數學乙非選第15題詳解

1. 由第 $14$ 題得 $f'(x)=-x^2-2x+3$，所以所求為 $$\int_{-3}^{1}\left(-x^2-2x+3\right)dx.$$ 2. 因為各項的反導函數依序為 $-\frac{x^3}{3}$、$-x^2$、$3x$，所以 $$\int_{-3}^{1}\left(-x^2-2x+3\right)dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}-x^2+3x\right]_{-3}^{1}.$$ 3. 代入上限 $x=1$，所以其值為 $-\frac{1}{3}-1+3=\frac{5}{3}$。 4. 代入下限 $x=-3$，所以其值為 $-\frac{-27}{3}-9-9=9-18=-9$。 5. 因為定積分等於上限值減下限值，所以 $$\dfrac{5}{3}-(-9)=\dfrac{5}{3}+\dfrac{27}{3}=\dfrac{32}{3}.$$ 故 $\int_{-3}^{1}f'(x)\,dx=\frac{32}{3}$。