題目
題組
某人想在農地種植甲、乙兩種水果，並設定甲水果的種植面積（甲面積）、乙水果的種植面積（乙面積）符合以下三個條件：（一）甲面積不超過 $15$ 公畝。（二）甲面積與乙面積的和不超過 $24$ 公畝。（三）甲面積不超過乙面積的 $3$ 倍，且乙面積不超過甲面積的 $2$ 倍。設甲面積為 $x$ 公畝、乙面積為 $y$ 公畝。根據上述，試回答下列問題。
已知某人的農地收成時，甲水果每公畝可獲利 $6$ 萬元、乙水果每公畝可獲利 $7$ 萬元。試求某人種植甲、乙兩種水果的最大獲利為多少萬元？在答題卷求解區寫出計算過程，並在答題卷作圖區畫出可行解區域及標出其所有頂點坐標，且以斜線標示該區域。（非選擇題，$8$ 分）
詳解
1. 由第 $17$ 題，可行解區域為
$$x\ge 0,\;y\ge 0,\;x\le 15,\;x+y\le 24,\;x\le 3y,\;y\le 2x.$$
2. 作圖時畫出四條邊界直線 $x=15$、$x+y=24$、$y=\frac{x}{3}$、$y=2x$。因為 $y\le 2x$ 與 $y\ge\frac{x}{3}$ 把區域夾在兩條過原點的直線之間，所以可行區域是一個以原點為一角的四邊形。
3. 逐一求出頂點：
原點 $(0,0)$ 是 $y=2x$ 與 $y=\frac{x}{3}$ 的交點。
$y=2x$ 與 $x+y=24$ 的交點：因為 $x+2x=24$，所以得 $(8,16)$。
$x+y=24$ 與 $x=15$ 的交點為 $(15,9)$。
$x=15$ 與 $y=\frac{x}{3}$ 的交點為 $(15,5)$。
4. 檢查這四點都滿足全部不等式，所以可行解區域的頂點為 $(0,0)$、$(8,16)$、$(15,9)$、$(15,5)$。
5. 設獲利為 $P=6x+7y$。因為目標函數是一次式，其在凸多邊形上的最大值必定發生在頂點，所以只需比較四個頂點的值：
$(0,0)$ 代入得 $P=0$。
$(8,16)$ 代入得 $P=6\times 8+7\times 16=48+112=160$。
$(15,9)$ 代入得 $P=6\times 15+7\times 9=90+63=153$。
$(15,5)$ 代入得 $P=6\times 15+7\times 5=90+35=125$。
6. 因為四個值中以 $160$ 最大，所以最大獲利在 $(8,16)$ 取得，也就是甲種 $8$ 公畝、乙種 $16$ 公畝。
故最大獲利為 $160$ 萬元。
題目來源：民國114年分科測驗數學乙 第18題（來源PDF第7頁）
資料版本：2026-07-17（commit 43ea8e02）
校對狀態：人工抽查——本卷試題經人工抽樣檢查；非逐題逐字校對。
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引用本站：大考雷達站，〈114分科測驗數學乙非選第18題詳解〉，資料版本 2026-07-17，https://twmath.com/questions/114_0XB_q18
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