115學測數學A多選第11題詳解

$\Gamma:y=\cos(\frac{\pi}{2}x)$，$L_m:y=mx+1$（$m\neq0$）。 $(0,1)$ 代入兩者皆成立，所以 $(0,1)$ 恆為交點，但並非「只有」一個交點（例如 $m$ 夠大時可有多個交點），故選項 $(1)$ 錯誤。 因為 $\cos$ 為偶函數，若 $(a,b)$ 是 $L_m$ 與 $\Gamma$ 的交點，則 $b=ma+1=\cos(\frac{\pi}{2}a)$。對 $L_{-m}$，點 $(-a,b)$ 滿足 $(-m)(-a)+1=ma+1=b$ 且 $\cos(\frac{\pi}{2}(-a))=\cos(-\frac{\pi}{2}a)=\cos(\frac{\pi}{2}a)=b$，所以 $(-a,b)$ 是 $L_{-m}$ 與 $\Gamma$ 的交點。選項 $(2)$ 正確。 $x=\frac{20}{3}$ 時 $\cos(\frac{10\pi}{3})=\cos(3\pi+\frac{\pi}{3})=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac{1}{2}$，而 $L_m$ 在該處取值為 $m\cdot\frac{20}{3}+1$。因為兩者相等需特定 $m$ 值，非恆成立，所以選項 $(3)$ 錯誤。 若交點在直線 $y=-1$ 上，則 $\cos(\frac{\pi}{2}x)=-1$，$x=4k+2$（$k\in\mathbb{Z}$），且 $mx+1=-1$ 即 $mx=-2$。代入得 $\frac{1}{m}=-(2k+1)$ 為奇數，所以 $m$ 為某奇數的負倒數。選項 $(4)$ 正確。 $m=-1$ 時可得 $3$ 個交點（繪圖可知），故選項 $(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(4)$。