115學測數學A多選第12題詳解

設 $f(x)=x^3+px^2+qx+r$，則 $g(x)=f(x)-(2x^3+2x)=-x^3+px^2+(q-2)x+r$。 三次函數 $Ax^3+Bx^2+Cx+D$ 的對稱中心橫坐標為 $-\frac{B}{3A}$，所以： $$a_1=-\frac{p}{3},\; a_2=-\frac{p}{3(-1)}=\frac{p}{3}$$ 因為 $a_1+a_2=0$，所以選項 $(2)$ 正確。 $f(x)=g(x)$ 時 $2x^3+2x=0$，即 $2x(x^2+1)=0$，僅 $x=0$ 一個實根，所以兩圖形只有一個交點，選項 $(4)$ 正確。 若 $a_1=a_2$ 則 $p=0$，兩對稱中心皆在 $x=0$。此時 $b_1=f(0)=r$，$b_2=g(0)=r$，$b_1=b_2$ 成立。選項 $(1)$ 錯誤。 選項 $(3)$：$a_1a_2=-\frac{p^2}{9}\le0$，等號成立時 $p=0$，此時 $a_1=a_2=0$。因為題目無限制 $p\neq0$，所以 $(3)$ 不一定正確。$(3)$ 錯誤。 選項 $(5)$：$a_1+a_2=0$ 已確定。但 $b_1+b_2=f(-\frac{p}{3})+g(\frac{p}{3})$ 與 $p,q,r$ 皆有關係，非唯一確定，所以 $(5)$ 錯誤。 故選 $(2)(4)$。