115 學測數學A 第 12 題

Question

令 $f(x)$、$g(x)$ 為實係數三次多項式且 $f(x)$ 的首項係數為 $1$，已知 $f(x)-g(x)=2x^3+2x$。令 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$ 分別為 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在坐標平面上的函數圖形，其對稱中心分別為 $(a_1,b_1),(a_2,b_2)$。試選出正確的選項。

Accepted Answer

答案：$(2)(4)$
設 $f(x)=x^3+px^2+qx+r$，則 $g(x)=-x^3+px^2+(q-2)x+r$。三次函數對稱中心的 $x$ 坐標為 $-\dfrac{b}{3a}$，所以 $a_1=-\dfrac{p}{3}$、$a_2=\dfrac{p}{3}$，故 $a_1+a_2=0$ 可唯一確定。交點由 $2x^3+2x=0$ 得只有一個實交點。若 $a_1=a_2$，則 $p=0$，兩中心皆在 $x=0$ 且 $b_1=b_2=r$。因此選 $(2)(4)$。