115學測數學B單選第7題詳解

$A,B,C$ 中獎機率分別為 $\frac{3}{4},\frac{2}{3},\frac{1}{2}$，互相獨立。 1. $p=P(\text{至少兩個中獎}\mid A\text{ 中獎})$。因為在 $A$ 中獎的條件下，$B,C$ 的中獎狀況獨立，所以至少兩個中獎等價於 $B$ 或 $C$ 至少有一個中獎： $$p=1-P(B\text{ 不中且 }C\text{ 不中})=1-\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$ 2. $q=P(A\text{ 中獎}\mid\text{至少兩個中獎})$。先算全機率： 因為 $P(\text{至少兩個中獎})=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{17}{24}$， 且 $P(A\text{ 中獎且至少兩個中獎})=P(A\text{ 中獎})\times P(B\cup C)=\frac{3}{4}\times\frac{5}{6}=\frac{5}{8}$， 所以 $q=\frac{5/8}{17/24}=\frac{5}{8}\times\frac{24}{17}=\frac{15}{17}$。 3. 因此 $\frac{p}{q}=\frac{5/6}{15/17}=\frac{5}{6}\times\frac{17}{15}=\frac{17}{18}$。 故選 $(2)$。