115學測數學B選填第15題詳解

有近視占 $\frac{1}{2}$，有蛀牙占 $\frac{1}{3}$。設有近視且有蛀牙的比例為 $x$。 因為「有近視的學生中，有蛀牙的占少數」，所以 $\frac{x}{1/2}<\frac{1}{2}$，$x<\frac{1}{4}$。 因為「有蛀牙的學生中，有近視的占多數」，所以 $\frac{x}{1/3}>\frac{1}{2}$，$x>\frac{1}{6}$。 因此 $\frac{1}{6}<x<\frac{1}{4}$。無近視且無蛀牙的比例 $p$ 由排容原理： $$p=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+x=\frac{1}{6}+x$$ 代入 $x$ 的範圍：$\frac{1}{6}+\frac{1}{6}<p<\frac{1}{6}+\frac{1}{4}$，即 $\frac{1}{3}<p<\frac{5}{12}$。 故填 $\frac{1}{3}<p<\frac{5}{12}$。