83大學聯考數學（社會組）選填第11題詳解

1. 設 $P(x,y)$ 為單位圓上的點，$O(0,0)$，而 $Q(3,-2)$。 直線 $\overline{OQ}$ 的長度為： $$\overline{OQ} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$$ 2. $\Delta POQ$ 的面積可表示為： $$S_{\Delta POQ} = \dfrac{1}{2} \times \overline{OQ} \times d(P, \overline{OQ})$$ 其中 $d(P, \overline{OQ})$ 為點 $P$ 到直線 $\overline{OQ}$ 的距離。 因為點 $P$ 落在單位圓上，其到原點的距離 $\overline{OP} = 1$， 所以點 $P$ 到直線 $\overline{OQ}$ 的最大距離為 $1$（即 $\overline{OP}$ 垂直於 $\overline{OQ}$ 時）。 因此，$\Delta POQ$ 面積的最大值為： $$S_{\Delta POQ} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{13} \times 1 = \dfrac{\sqrt{13}}{2}.$$ 另解 因為 $O=(0,0)$、$Q=(3,-2)$，且 $P=(x,y)$ 在單位圓上，所以三角形 $POQ$ 面積為 $$\frac12|x(-2)-y(3)|=\frac12|2x+3y|.$$ 由柯西不等式，$|2x+3y|\le\sqrt{2^2+3^2}\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{13}$。等號可達，因為可取 $P$ 與 $(2,3)$ 同方向。故最大面積為 $\frac{\sqrt{13}}{2}$。