89大學聯考數學（社會組）選填第7題詳解

設大箱用 $x$ 個，小箱用 $y$ 個（$x, y$ 為非負整數）。 1. 依題意：$25x + 8y = 1080$。 2. 總成本 $f(x, y) = 60x + 20y$。 3. 由 $25x + 8y = 1080$，因為 $8y$ 是 $8$ 的倍數，$1080$ 是 $8$ 的倍數，故 $25x$ 亦為 $8$ 的倍數，即 $x$ 為 $8$ 的倍數。 4. 令 $x = 8t$（$t$ 為非負整數）。代入得：$25(8t) + 8y = 1080 \implies 25t + y = 135 \implies y = 135 - 25t$。 因為 $y \ge 0$，所以 $135 - 25t \ge 0 \implies t \le 5.4$，故 $t$ 的可能值為 $0, 1, 2, 3, 4, 5$。 5. 將 $x = 8t, y = 135 - 25t$ 代入成本函數： $$f(t) = 60(8t) + 20(135 - 25t) = 480t + 2700 - 500t = 2700 - 20t$$ 當 $t$ 取最大整數值 $5$ 時，總成本有最小值： $$2700 - 20(5) = 2600 \text{ 元}$$ （此時大箱用 $x = 40$ 個，小箱用 $y = 10$ 個）。