91指考數學乙選填第7題詳解

分析四面體鐵架每一層的焊接點數量規律： - 第一層（頂層）：$1$ 個焊接點。 - 第二層：$1 + 2 = 3$ 個焊接點。 - 第三層：$1 + 2 + 3 = 6$ 個焊接點。 - 第 $n$ 層的焊接點數為三角形數：$T_n = 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$。 四面體的總焊接點數為各層焊接點數的累積和： - 圖 $E_1$（兩層）：$T_1 + T_2 = 1 + 3 = 4$ 個點。 - 圖 $E_2$（三層）：$T_1 + T_2 + T_3 = 1 + 3 + 6 = 10$ 個點。 - 圖 $E_3$（四層）：$T_1 + T_2 + T_3 + T_4 = 1 + 3 + 6 + 10 = 20$ 個點。 依此規律，圖 $E_5$ 有六層，其焊接總點數為： $$\text{總點數} = T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5 + T_6$$ $$= 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56\text{ 個焊接點}$$ 故答案為 $56$。