92學測數學補考選填第16題詳解

各因式的根： - $x^2-4x+2=0$：$x=2\pm\sqrt{2}$ - $2x-5=0$：$x=\dfrac{5}{2}$ - $2x-37=0$：$x=\dfrac{37}{2}$ 臨界點由小到大為 $2-\sqrt{2}$、$\dfrac{5}{2}$、$2+\sqrt{2}$、$\dfrac{37}{2}$。 因最高次項係數為正，且各根皆為單根，符號由右向左交替，可得 $$ (x^2-4x+2)(2x-5)(2x-37) \le 0 $$ 的解區間為 $$\left[2-\sqrt{2},\dfrac{5}{2}\right]\cup\left[2+\sqrt{2},\dfrac{37}{2}\right].$$ 第一段整數解為 $1,2$，共 $2$ 個；第二段整數解為 $4,5,\ldots,18$，共 $15$ 個。 因此共有 $2+15=17$ 個整數解。