99指考數學乙多選第3題詳解

將原不等式移項： $$x^2(x+5)(x+1)(x-4)(x-7)-(2x-3)(x+5)(x+1)(x-4)(x-7)<0$$ 提出公因式： $$(x^2-2x+3)(x+5)(x+1)(x-4)(x-7)<0$$ 因為 $x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$ 對所有實數 $x$ 恆成立，所以原不等式等價於 $$(x+5)(x+1)(x-4)(x-7)<0$$ 由零點 $x=-5,-1,4,7$ 判斷各區間的正負號，得解集合為 $(-5,-1)\cup(4,7)$。 逐一檢查選項： 選項 $(1)$：$-2\pi\approx -6.28$。因為 $-6.28<-5$，不在解集合內，$(1)$ 不是解。 選項 $(2)$：$-\pi\approx -3.14$。因為 $-5<-3.14<-1$，落在 $(-5,-1)$ 內，$(2)$ 是解。 選項 $(3)$：$\pi\approx 3.14$。因為 $3.14<4$，不在解集合內，$(3)$ 不是解。 選項 $(4)$：$2\pi\approx 6.28$。因為 $4<6.28<7$，落在 $(4,7)$ 內，$(4)$ 是解。 故選 $(2)(4)$。