94指考數學甲多選第4題詳解

將多項式整理為標準二次函數形式： $$f(x) = (1-a)x^2 + a$$ 因為各選項都必須依函數形式逐一檢驗，所以分別判斷如下： $(1)$ 錯：若 $a = 1$，則 $f(x) = 1$，其圖形為水平直線。 $(2)$ 對：當 $a \ne 1$ 時，$f(x)$ 為二次函數，其頂點在 $x=0$，極值為 $f(0) = a$。當 $a=1$ 時，常數函數無極值。故只要 $f(x)$ 有極值，極值必定為 $a$。 $(3)$ 錯：若 $f(x)$ 的極大值為 $0$，其頂點高度應為 $a=0$，且二次項係數必須為負，即 $1-a < 0 \implies a > 1$。但這與 $a=0$ 矛盾，因此 $0$ 不可能是極大值。 $(4)$ 對：若 $f(x) = 0 \implies (1-a)x^2 + a = 0$ 有重根，因為一次項係數為 $0$，其判別式為： $$D = 0^2 - 4(1-a)a = -4a(1-a) = 0 \implies a = 0 \text{ 或 } a = 1$$ 當 $a=1$ 時，$f(x) = 1 = 0$ 無解（無重根）；當 $a=0$ 時，$f(x) = x^2 = 0$ 有重根 $x=0$。因此，若 $a \ne 0$，則 $f(x) = 0$ 絕無重根。 故選 $(2)(4)$。