98學測數學單選第3題詳解

1. 設 $f(x)=q(x)g(x)+(x^4-1)$。 2. 若 $h(x)$ 同時為 $f(x)$ 與 $g(x)$ 的公因式，則 $h(x)\mid g(x)$ 且 $h(x)\mid f(x)$。因為 $h(x)\mid [f(x)-q(x)g(x)]$，所以 $h(x)\mid (x^4-1)$。 3. $x^4-1$ 的因式分解為 $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)=(x^2-1)(x^2+1)$，因此 $x-1$、$x+1$、$x^2-1$、$x^2+1$ 皆可為公因式。 但 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$，其中 $x^2+x+1$ 不整除 $x^4-1$，所以 $x^3-1$ 不可能是公因式。 故選 $(4)$。