由行列式的定義展開可得： $$\begin{vmatrix} 5 & a \\ b & 7 \end{vmatrix} = 35 - ab = 4 \implies ab = 31$$ 由於 $a, b$ 皆為整數，且 $31$ 是質數，故 $a, b$ 的整數解為： $$\begin{cases} a=1 \\ b=31 \end{cases} \text{ 或 } \begin{cases} a=31 \\ b=1 \end{cases} \text{ 或 } \begin{cases} a=-1 \\ b=-31 \end{cases} \text{ 或 } \begin{cases} a=-31 \\ b=-1 \end{cases}$$ 不論哪一組解，其絕對值 $|a + b|$ 皆為： $$|1 + 31| = |-1 - 31| = 32$$ 故選 $(3)$。