100 指考數學乙第 2 題

Question

如圖，平面上五個大小相同的圓圈用四根長度相同的線段連接成十字形，其中任意兩相鄰線段均互相垂直。今欲將其中兩個圓圈塗上藍色，其他圓圈塗上紅色，並規定在塗好色之後將圖形繞十字形的中心旋轉產生的各種塗色法均視為同一種，試問共有幾種塗色法？

Accepted Answer

答案：$(1)$
將五個圓圈位置分為：中心圓圈（$1$ 個）與外圍分支圓圈（$4$ 個）。
欲將其中兩個圓圈塗上藍色，分以下情況討論：
1. **藍色一個在中心，另一個在外圍**：
   中心塗藍色，外圍 $4$ 個中選 $1$ 個塗藍色。因為圖形繞中心旋轉，外圍的 $4$ 個位置是對稱的，故此情形只有 $1$ 種塗色法。
2. **兩個藍色都在外圍**：
   此時中心為紅色，外圍 $4$ 個位置選 $2$ 個塗藍色：
   - **相鄰的兩個分支**（如上與右）：繞中心旋轉可重合，視為同 $1$ 種。
   - **相對的兩個分支**（如上與下）：繞中心旋轉可重合，視為同 $1$ 種。

綜合以上，共有 $…