103學測數學單選第5題詳解

利用二項式定理展開式：$$(1+\sqrt{2})^6 = \sum_{k=0}^6 C^6_k 1^{6-k} (\sqrt{2})^k = \sum_{k=0}^6 C^6_k (\sqrt{2})^k$$因為 $a, b$ 為整數，我們可以將展開式分為偶數次項（有理數）與奇數次項（無理數）： 偶數次項構成 $a$：$$a = C^6_0 + C^6_2 (\sqrt{2})^2 + C^6_4 (\sqrt{2})^4 + C^6_6 (\sqrt{2})^6 = C^6_0 + C^6_2 \cdot 2 + C^6_4 \cdot 2^2 + C^6_6 \cdot 2^3$$奇數次項構成 $b\sqrt{2}$：$$b\sqrt{2} = C^6_1 \sqrt{2} + C^6_3 (\sqrt{2})^3 + C^6_5 (\sqrt{2})^5 = \left( C^6_1 + C^6_3 \cdot 2 + C^6_5 \cdot 2^2 \right)\sqrt{2}$$所以可得：$$b = C^6_1 + C^6_3 \cdot 2 + C^6_5 \cdot 2^2$$故選 $(2)$。