104指考數學甲多選第8題詳解

$(1)$ 第一次人工受孕成功只可能發生在第一類患者，機率為 $pq$，所以第一次失敗機率為 $1 - pq$，不是 $(1-p)q$，錯誤。 $(2)$ 由貝氏定理，失敗一次後屬於第二類的條件機率為： $P(\text{第二類} \mid \text{第一次失敗}) = \frac{P(\text{第二類且失敗})}{P(\text{失敗})} = \frac{1-p}{1-pq}$，正確。 $(3)$ 當 $q$ 增加時，$1-pq$ 變小，所以 $\frac{1-p}{1-pq}$ 變大，不會降低，錯誤。 $(4)$ 在第一類患者中，一次就成功的機率為 $q$，兩次才成功的機率為 $(1-q)q$。因為 $0 < q < 1$，所以 $q > (1-q)q$，即一次成功比兩次才成功更容易發生，正確。 $(5)$ $(1-q)q = q - q^2$ 在 $q < \frac{1}{2}$ 時隨 $q$ 增加而增加，在 $q > \frac{1}{2}$ 時隨 $q$ 增加而減少，非嚴格遞減，錯誤。 因此正確選項為 $(2)(4)$。