106學測數學單選第7題詳解

小明的餐點共有四種：牛肉麵、大滷麵（以上為麵食），咖哩飯、排骨飯（以上為飯食）。 因為五天中每種餐點至少吃一次，所以五天中恰有一種餐點會重複。 設麵食日為 $N$、飯食日為 $R$。 1. 若重複的是飯食，則型態含兩個 $N$ 與三個 $R$，且兩個 $N$ 不相鄰。 可能型態為 $NRNRR, NRRNR, NRRRN, RNRNR, RNRRN, RRNRN$。 兩個麵食格可排牛肉麵與大滷麵，共 $2$ 種。 飯食格計數如下： $RNRNR$ 有 $6$ 種； $NRNRR, NRRNR, RNRRN, RRNRN$ 各有 $4$ 種； $NRRRN$ 因三個飯食日連續，只能交錯排列，有 $2$ 種。 因此此類共有 $$2\times(6+4+4+4+4+2)=48\text{ 種}.$$ 2. 若重複的是麵食，則三個 $N$ 不相鄰，型態只能是 $NRNRN$。 三個麵食格由兩種麵食且一種重複，排法為 $2\times3=6$ 種； 兩個飯食格排咖哩飯與排骨飯，有 $2$ 種。 因此此類共有 $$6\times2=12\text{ 種}.$$ 合計為 $$48+12=60\text{ 種}.$$ 故選 $(2)$。