108學測數學單選第3題詳解

將方程式 $2^k 4^m 8^n = 512$ 以 $2$ 為底數表示： $$2^k \cdot 2^{2m} \cdot 2^{3n} = 2^9 \Rightarrow 2^{k+2m+3n} = 2^9$$ 對照指數可得： $$k + 2m + 3n = 9$$ 已知 $k, m, n$ 皆為正整數（即 $\ge 1$），我們對 $n$ 進行分類討論： • 若 $n = 2$，則 $k + 2m + 6 = 9 \Rightarrow k + 2m = 3$：\ 此時僅有 $m=1, k=1$ 一組正整數解，即 $(k, m, n) = (1, 1, 2)$。 • 若 $n = 1$，則 $k + 2m + 3 = 9 \Rightarrow k + 2m = 6$：\ 當 $m=1$ 時，$k=4$，解為 $(4, 1, 1)$；\ 當 $m=2$ 時，$k=2$，解為 $(2, 2, 1)$。 • 若 $n \ge 3$，則 $3n \ge 9$，此時 $k + 2m \le 0$，無正整數解。 綜上所述，滿足條件的正整數組共計有 $3$ 組。 故選(3)。