109學測數學選填第16題詳解

1. 先求直線 $2x+y=10$ 與兩平行線的交點，以確定線段 $S$ 的端點。 2. 與 $x-2y+15=0$ 的交點：解聯立 $$\begin{cases} 2x+y=10\\ x-2y+15=0 \end{cases}$$ 由第二式得 $x=2y-15$，代入第一式：$2(2y-15)+y=10\implies 5y-30=10\implies y=8$。代回得 $x=2\times 8-15=1$。故一端點為 $(1,8)$。 3. 與 $x-2y=0$ 的交點：解聯立 $$\begin{cases} 2x+y=10\\ x-2y=0 \end{cases}$$ 由第二式得 $x=2y$，代入第一式：$2(2y)+y=10\implies 5y=10\implies y=2$。代回得 $x=4$。故另一端點為 $(4,2)$。 4. 線段 $S$ 為連接 $(1,8)$ 與 $(4,2)$ 的線段。令 $c=f(x,y)=3x-y$，因為 $f$ 為線性函數，在線段上的最大值與最小值必發生在端點。 5. 代入兩端點：$f(1,8)=3\times 1-8=-5$，$f(4,2)=3\times 4-2=10$。因為 $-5<10$，所以 $c$ 的最小值為 $-5$。 故填 $-5$。