109學測數學選填第17題詳解

1. 在箏形 $ABCD$ 中，因為 $\overline{AB}=\overline{BC}$ 且 $\overline{AD}=\overline{CD}$，所以對角線 $\overline{AC}$ 為對稱軸，且 $B,D$ 兩點在 $\overline{AC}$ 的垂直平分線上。 2. 建立坐標系：令 $\overline{AC}$ 在 $x$ 軸上，$\overline{AC}$ 的中點為原點。設 $A=(-x,0)$，$C=(x,0)$（$x>0$），$B=(0,b)$，$D=(0,d)$。 3. 由距離條件： $\overline{AB}^2=x^2+b^2=2$（式1） $\overline{AD}^2=x^2+d^2=4$（式2） 4. 由 $\angle BAD=135^\circ$，利用向量內積： $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}=(x,b)$，$\overset{\large\rightharpoonup}{AD}=(x,d)$， $\overset{\large\rightharpoonup}{AB}\cdot\overset{\large\rightharpoonup}{AD}=x^2+bd=|\overset{\large\rightharpoonup}{AB}||\overset{\large\rightharpoonup}{AD}|\cos 135^\circ=\sqrt{2}\cdot 2\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2$。 故 $x^2+bd=-2$，即 $bd=-(2+x^2)$。（式3） 5. 令 $t=x^2$，則由式1得 $b^2=2-t$，由式2得 $d^2=4-t$。將式3兩邊平方：$b^2d^2=(2+x^2)^2$，得 $(2-t)(4-t)=(2+t)^2$。 展開：$8-6t+t^2=4+4t+t^2\implies 8-6t=4+4t\implies 4=10t\implies t=\frac{2}{5}$。 6. 因為 $\overline{AC}=2x=2\sqrt{t}=2\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$。 故填 $\frac{2\sqrt{10}}{5}$。