109指考數學甲補考單選第3題詳解

1. 先確定真數條件： 因為 $\log_2(x-1)$ 有意義，所以 $x-1 > 0$，即 $x > 1$。 因為 $\log_4(25-y^2)$ 有意義，所以 $25-y^2 > 0$，即 $y^2 < 25$，$-5 < y < 5$。 2. 化簡方程式： 因為 $\log_2(x-1) = \log_4(25-y^2)$，令此值為 $t$，則 $x-1 = 2^t$ 且 $25-y^2 = 4^t = (2^t)^2 = (x-1)^2$，所以 $(x-1)^2 + y^2 = 25$。 3. 設 $X = x-1$，則 $X$ 為正整數且 $X^2 + y^2 = 25$： 因為 $y$ 為整數且 $-5 < y < 5$，$X > 0$，所以搜尋整數解： 當 $y = \pm 4$ 時，$X^2 = 25 - 16 = 9$，得 $X = 3$，對應 $(x,y) = (4,4), (4,-4)$； 當 $y = \pm 3$ 時，$X^2 = 25 - 9 = 16$，得 $X = 4$，對應 $(x,y) = (5,3), (5,-3)$； 當 $y = 0$ 時，$X^2 = 25$，得 $X = 5$，對應 $(x,y) = (6,0)$。 4. 共計 $5$ 個格子點。 故選 $(2)$。