114學測數學A單選第4題詳解

1. 區域內部格子點 $(x,y)$ 滿足 $x,y\in\mathbb{Z}$，且 $$1<x<\frac{61}{2}=30.5,\; 0<y<\log_2 x.$$ 2. 因為 $x\le 30$，從 $0<y<\log_2 x$ 知 $2^y<x\le 30$。檢查 $y$ 的上限：$2^5=32>30$，所以 $y$ 可為 $1,2,3,4$。 3. 對每個 $y$ 值計數滿足 $2^y<x\le 30$ 的整數 $x$ 個數： - $y=1$（$2^1=2$）：$x=3,4,\ldots,30$，共 $28$ 個。 - $y=2$（$2^2=4$）：$x=5,6,\ldots,30$，共 $26$ 個。 - $y=3$（$2^3=8$）：$x=9,10,\ldots,30$，共 $22$ 個。 - $y=4$（$2^4=16$）：$x=17,18,\ldots,30$，共 $14$ 個。 4. 總格子點數為 $28+26+22+14=90$。 故選 $(3)$。