110指考數學甲非選第13題詳解

（1）當 $m=2$ 時，交點滿足 $x^3-4x^2+5x=2x$，即 $x^3-4x^2+3x=0$。 因式分解：$x(x^2-4x+3)=x(x-1)(x-3)=0$。 因為在 $x\ge0$ 的範圍內，所以三個相異交點的 $x$ 坐標為 $0,1,3$。 （2）在區間 $[0,1]$ 上，$x^3-4x^2+3x=x(x-1)(x-3)$：因為 $x\ge0$、$x-1\le0$、$x-3<0$，所以函數值 $\ge0$，$\Gamma$ 在 $L$ 上方。 在區間 $[1,3]$ 上，函數值 $\le0$，$\Gamma$ 在 $L$ 下方。 因此有界區域面積為： $$\int_0^1(x^3-4x^2+3x)\,dx-\int_1^3(x^3-4x^2+3x)\,dx$$ 計算不定積分：$\int(x^3-4x^2+3x)\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+C$。 第一段：$\left[\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right]_0^1=\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}=\frac{3-16+18}{12}=\frac{5}{12}$。 第二段：$\left[\frac{x^4}{4}-\frac{4x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right]_1^3$$=\left(\frac{81}{4}-\frac{108}{3}+\frac{27}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{4}{3}+\frac{3}{2}\right)$$=\left(\frac{81}{4}-36+\frac{27}{2}\right)-\frac{5}{12}$$=\left(\frac{81-144+54}{4}\right)-\frac{5}{12}$$=\frac{-9}{4}-\frac{5}{12}=\frac{-27-5}{12}=-\frac{32}{12}=-\frac{8}{3}$。 所以面積 $=\frac{5}{12}-\left(-\frac{8}{3}\right)=\frac{5}{12}+\frac{32}{12}=\frac{37}{12}$。 （3）交點方程式為 $x^3-4x^2+(5-m)x=0$，即 $x[x^2-4x+(5-m)]=0$。 因為需要三個相異交點且 $x\ge0$，所以 $x=0$ 為一交點，且二次式 $x^2-4x+(5-m)=0$ 須有兩個相異正根。 判別式條件：$16-4(5-m)>0\implies4(m-1)>0\implies m>1$。 兩根之和為 $4>0$（必成立）。兩根之積為 $5-m$，須為正數（兩正根之積為正），所以 $5-m>0\implies m<5$。 因此滿足條件的 $m$ 最大範圍為 $1<m<5$，即 $a=1$、$b=5$。 故 （1）$0,1,3$； （2）$\frac{37}{12}$； （3）$a=1,\ b=5$。