有八棟大廈排成一列，由左至右分別編號 $1,2,3,4,5,6,7,8$。今電信公司想選取其中三棟大廈的屋頂分別設立一座電信基地台。若基地台不能設立於相鄰的兩棟大廈，以免訊號互相干擾，試問在 $3$ 號大廈不設立基地台的情況下，有多少種設立基地台的選取方法？
- $12$
- $13$
- $20$
- $30$
- $35$
詳解
先不考慮 $3$ 號大廈不可選，從 $1$ 到 $8$ 選 $3$ 個且互不相鄰的數量為 $\binom{8-3+1}{3}=\binom{6}{3}=20$。若包含 $3$，其餘兩棟不能選 $2,4$。可選集合為 $\{1,5,6,7,8\}$，其中若選 $1$，另一棟可為 $5,6,7,8$，有 $4$ 種；若不選 $1$，則從 $5,6,7,8$ 選兩個不相鄰，有 $(5,7),(5,8),(6,8)$ 共 $3$ 種。因此包含 $3$ 的共有 $7$ 種，所求為 $20-7=13$，故選 $(2)$。