113學測數學A多選第12題詳解

$T\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3x\\ax+y\end{bmatrix}$，$\det T=3$。三頂點的像：$A(1,0)\mapsto(3,a)$，$B(0,1)\mapsto(0,1)$，$C(-1,0)\mapsto(-3,-a)$。 選項 $(1)$：$a=0$ 時 $\Gamma$ 頂點為 $(3,0),(0,1),(-3,0)$。由 $(0,1)$ 出發的兩向量內積為 $(3,-1)\cdot(-3,-1)=-9+1=-8\neq0$，不為直角，所以 $(1)$ 錯誤。 選項 $(2)$：$T(x,y)=(x,y)$ 需 $3x=x$（即 $x=0$）且 $ax+y=y$（自動成立），所以 $y$ 軸上的點不動。$\triangle ABC$ 邊上落在 $y$ 軸的有 $B(0,1)$ 和 $\overline{AC}$ 上的 $(0,0)$，共 $2$ 點。$(2)$ 正確。 選項 $(3)$：$a=0$ 時 $\Gamma$ 頂點全在 $y\ge0$，不進入第四象限，所以「必」不成立。$(3)$ 錯誤。 選項 $(4)$：因為 $\det T=3\neq0$，$T$ 可逆，取 $\Omega=T^{-1}(\triangle ABC)$ 即可，所以 $(4)$ 正確。 選項 $(5)$：因為線性變換使面積變為 $|\det T|=3$ 倍，$\triangle ABC$ 面積為 $1$，所以 $\Gamma$ 面積恆為 $3$。$(5)$ 正確。 故選 $(2)(4)(5)$。